2.9. Boletín 2: Límites, continuidad, Lagrange y dicotomía#

Calcula, si es posible,

a. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x}}}$,

b. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}}}$,

c. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\left (\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)}}$.
Calcula, si es posible, los siguientes límites:

\[\begin{split} \begin{array}{lllll} %\text{$(a)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} e^x} &\qquad %\text{$(b)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} e^x} &\qquad %\text{$(c)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} e^x} &\qquad \text{$a)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt[3]{x}} & \qquad \text{$b)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x}} &\qquad \text{$c)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x}} &\qquad \text{$d)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt{x}} \\ \\ \text{$e)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}} & \qquad \text{$f)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} } &\qquad %\text{$j)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2} &\qquad \text{$g)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 } &\qquad \text{$h)$ } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \left( x^3 - 5x^2 + 8 \right)} \end{array} \end{split}\]
El valor, en euros, de un coche $x$ años después de su adquisición (nuevo) viene dado por la función

\[ v(x)=2000+\frac{60000}{4^{0.25 x}}. \]

Se llama valor residual del coche a su valor límite cuando el número de años aumenta indefinidamente.

a. ¿Cuál fue el precio de compra del vehículo nuevo?

b. ¿Cuál será su valor residual?

c. ¿Al cabo de cuántos años diferirá su valor en menos de 1000 euros del valor residual?
Dibuja, con Sympy la gráfica de la curva $y=\sqrt{x^2+1}-x$.

Comprueba, con lápiz y papel y comprobando los resultados en el ordenador, si esta gráfica tiene alguna asíntota y, en caso afirmativo, obtén sus ecuaciones.
Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a. $\displaystyle{v_{1}(x)= \frac{3x^2-2}{4x^2 +1}}$,

b. $\displaystyle{h(t)= \frac{t^2+2}{t -2}}$,

c. $\displaystyle{v_{2}(x)= \frac{3x^2-2}{4x^2 -1}}$,

d. $\displaystyle{f(x)=x^\frac{|x|}{x} + \frac{1}{x}}$.
Considera la función $f$, dada por $f(x) = \ln(x)$.

a. ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su imagen?

b. ¿Cuánto valen $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)} \,\,$ y $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln (x)}$?

c. ¿Existe $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln(x)}$? ¿Por qué?

d. ¿Posee $f$ alguna asíntota vertical? En caso afirmativo, ¿cuál es su ecuación?

e. Dibuja la gráfica de $f$.

f. Utilizando la relación entre la gráfica de una función y la de su inversa, esboza la gráfica de $g(x)=e^x$. De la observación de esta gráfica deduce la existencia de una asíntota horizontal.
Vamos a repasar la función arco-tangente ($\arctan$):

a. ¿Cuál es el dominio de la función $f(x)=\arctan(x)$? ¿Y su imagen?

b. ¿Es cierto que $\dfrac{1}{\tan(x)} = \arctan(x)$? ¿Por qué?

c. ¿Cuáles son los ángulos cuya tangente vale $1$?

d. ¿Es correcto decir que $\arctan (1)=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, $\,k \in \mathbb{Z}$? ¿Por qué?
Si la longitud de un animal $t$ días después de su nacimiento es

\[ \ell(t)= \frac{300}{1+9\left(0.8\right)^t} \]

¿cuánto midió al nacer? Obtén una cota superior de su tamaño máximo.
Elige la opción correcta:

Para aproximar el valor de la solución de la ecuación $x^3+2=0$ con un error menor que $0.30$ usando el algoritmo de dicotomía en el intervalo $[-2,\,2]$:

a. debemos realizar cuatro iteraciones y las tres primeras son $x_1=0$, $x_2=-1$ y $x_3=-3/2$

b. debemos realizar cuatro iteraciones y las tres primeras son $x_1=0$, $x_2=-1$ y $x_3=-1/2$

c. debemos realizar tres iteraciones y las dos primeras son $x_1=0$ y $x_2=-1$

d. debemos realizar tres iteraciones y las dos primeras son $x_1=0$ y $x_2=1$.
¿Dónde es continua la función $f$ dada por $f(x)=\displaystyle{\frac{e^x+\ln(2x)}{x^2-3}}?$
Elige la opción correcta:

La función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sqrt{{x}^{2}-1} \,\,\,\, \qquad\, \text{ si } x \in (-\infty,-1] \\ {x}^{2}+2x+1 \qquad \text{si } x \in (-1,10] \\ \frac{121}{10}x \qquad\, \, \, \, \qquad \text{ si } x \in (10,+\infty) \end{cases} \end{split}\]

a. No es continua en $x=-1$

b. Es continua en $(-\infty,\infty)$

c. No es continua en $x=10$

d. No es continua en $x=0$
Estudia la continuidad en $x=0$ de la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x e^{-x} \, \qquad\,\quad \text{si } x < 0 \\ 1 \qquad \qquad \,\,\,\,\,\, \text{si } x = 0 \\ \sqrt{x^2+1} \qquad \text{si } x > 0 \end{cases} \end{split}\]
Si $a>1$ estudia la continuidad de la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} {x}^{2} {\cos^2\left(\frac{1}{x}\right)} \qquad\,\quad \text{si } x < 0 \\ 0 \qquad \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,\quad \text{ si } x = 0 \\ \dfrac{x {a}^{x}-x} {\sqrt{1+x}-1} \qquad \text{si } x > 0 \end{cases} \end{split}\]
Demuestra que la ecuación $x + \sin (x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}+3}$ tiene al menos una raíz en $[0,\pi]$.
Justifica la existencia de una solución de la ecuación $e^x+4x=0$ en el intervalo $[-1, 0]$. Determina el número de iteraciones necesarias para aproximar la solución mediante el método de dicotomía con un error inferior a una centésima y calcula las tres primeras iteraciones.
Sea la función $f$ dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle{\frac{x^2}{1+e^{1/x}} - 1} & \quad \text{si } x \neq 0 \\ \\ - 1 & \quad \text{si } x =0. \end{cases} \end{split}\]

a. Estudia la continuidad de $f$ en $\mathbb{R}.$

b. Justifica la existencia de una raíz de $f$ en el intervalo $[0,\, 2].$

c. Calcula los dos primeros iterantes del algoritmo de dicotomía, aplicado a $f$ en el intervalo $[0,\,2],$ para aproximar la raíz a la que se refiere el apartado anterior.
Mediciones puntuales han determinado que una función $f$ desconocida pasa por $(-2, -16)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$ y $(3, 9)$. Calcula, mediante diferencias divididas, una aproximación polinómica de $f$. Utiliza este polinomio para aproximar $f(2)$.
Calcula el polinomio de interpolación de Lagrange de orden tres relativo a $f(x) = 2^{x+1}-5$ en los puntos $x_0 = 1$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$ y $x_3 = 4$. Utilizando los cálculos previos, calcula una aproximación del número $r = 4 \sqrt{2}-5$ y una aproximación de la raíz de la ecuación $\log_2 (y+5) = 3.5$.
Utiliza la fórmula de Newton para obtener el polinomio de interpolación de la función $f(x)=\sin(x)$ relativo a los puntos $\displaystyle{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi}$ y $\displaystyle{\frac{3\pi}{2} }$. Utilízalo para aproximar el seno de $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$.
Considera la siguiente tabla de valores, correspondiente a mediciones de una función $f$:

$x_{i}$

-1

0

1

3

4

$f(x_{i})$

6

3

6

38

77

a. Calcula el polinomio $p$ de interpolación de Lagrange de orden $2$ relativo a $f$ en los nodos $\{ 1,3,4 \}$.

b. Calcula el polinomio $q$ de interpolación de Lagrange de orden $2$ relativo a $f$ en los nodos $\{ -1,0,1 \}$.

c. Aproxima $f(0.25)$ y $f(2)$.
Elige la opción correcta:

Si usamos el polinomio de Lagrange que interpola a los nodos $(-2,-8)$, $(-1, 0)$ y $(1, 4)$, para aproximar el valor en $x=0$ obtenemos:

a. -4

b. 0

c. 4

d. con el polinomio de Lagrange que interpola esos nodos no se puede aproximar el valor en $x=2$.
Elige la opción correcta:

El coeficiente de grado $1$ del polinomio de Lagrange que interpola los datos de la siguiente tabla

$x_{i}$

-2

-1

1

0

$y_{i}$

4

4

10

6

a. es 0

b. es 1

c. es 3

d. no existe ese polinomio.
Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a. Sea $f:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}$ continua y tal que $f(1)=0$. Entonces, por el teorema de Bolzano debe ser $f(0)f(2)<0$.

b. Existe un punto $x \in (0,1)$ tal que $\displaystyle{e^{x}=\frac{3}{2}}$.

c. La función $g$ dada por $\,g(x)=\dfrac{16}{{a}^2+2abx+{b}^2{x}^2}\,$, donde $a$ y $b$ son dos números reales no nulos, es continua siempre que $x$ difiera de $\,\frac{-a}{b}$.

d. La función $h$ dada por $\displaystyle{ h(x)=\frac{1}{1+e^{-1/x}} }$ no tiene límite en $0$.

e. La gráfica de la función $\dfrac{{x}^{3}}{{(x+1)}^2}$ se corta con su asíntota oblícua en un punto de abscisa comprendida entre $-1$ y $0$.

f. Todo polinomio $p$ verifica $p(x+y)=p(x) + p(y)$.

Calculo en una variable

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