La integral indefinida
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4.1. La integral indefinida#
4.1.1. Definición de primitiva#
La primitiva de una función es la expresión que se obtiene mediante el proceso opuesto a la derivación. De aquí que la primitiva también se conozca con el nombre de antiderivada. Realmente, una función no tiene una única primitiva, sino que una familia de funciones. Veámoslo con un ejemplo.
Si tenemos la función \(f(x)=x^2\) sabemos que su derivada se obtiene en dos pasos, i) se multiplica la función por el exponente y ii) se disminuye el exponente en una unidad, esto es, \(f'(x)=2x\). Entonces, para calcular la primitiva de \(f\) procedemos en sentido opuesto, i) se aumenta el exponente en una unidad y ii) se divide por el exponente (nuevo al hacer el paso i)). De este modo obtenemos que \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\), podemos comprobar que al aplicar la derivada a \(F\) obtenemos nuestra función inicial \(f\).
Tal y como hemos mencionado, la primitiva no es única, de este modo le podemos añadir cualquier constante a \(F(x)\) y su derivada seguirá siendo la función de inicio \(f\) (la derivada de una constante era 0). Entonces, para este caso, la familia de primitivas estaría dada por \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} +C\), donde \(C\) es una constante cualesquiera.
Veamos pues, las definiciones formales de primitiva.
Definition (Primitiva)
Sea \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\). Se dice que F es una primitiva de \(f\) en \(I\) si
Theorem 4.2
Si \(F\) y \(G\) son dos primitivas de una misma función \(f\) en un intervalo \(I\), entonces,
Como consecuencia del anterior teorema, una vez conocida una primitiva \(F\) de \(f\), ya se pueden obtener todas al sumar únicamente una constante a la primitiva ya conocida.
4.1.2. Definición de primitiva#
La primitiva de una función es la expresión que se obtiene mediante el proceso opuesto a la derivación. De aquí que la primitiva también se conozca con el nombre de antiderivada. Realmente, una función no tiene una única primitiva, sino que una familia de funciones. Veámoslo con un ejemplo.
Si tenemos la función \(f(x)=x^2\) sabemos que su derivada se obtiene en dos pasos, i) se multiplica la función por el exponente y ii) se disminuye el exponente en una unidad, esto es, \(f'(x)=2x\). Entonces, para calcular la primitiva de \(f\) procedemos en sentido opuesto, i) se aumenta el exponente en una unidad y ii) se divide por el exponente (nuevo al hacer el paso i)). De este modo obtenemos que \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\), podemos comprobar que al aplicar la derivada a \(F\) obtenemos nuestra función inicial \(f\).
Tal y como hemos mencionado, la primitiva no es única, de este modo le podemos añadir cualquier constante a \(F(x)\) y su derivada seguirá siendo la función de inicio \(f\) (la derivada de una constante era 0). Entonces, para este caso, la familia de primitivas estaría dada por \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} +C\), donde \(C\) es una constante cualesquiera.
Veamos pues, las definiciones formales de primitiva.
Definition (Primitiva)
Sea \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\). Se dice que F es una primitiva de \(f\) en \(I\) si
Theorem 4.2
Si \(F\) y \(G\) son dos primitivas de una misma función \(f\) en un intervalo \(I\), entonces,
Como consecuencia del anterior teorema, una vez conocida una primitiva \(F\) de \(f\), ya se pueden obtener todas al sumar únicamente una constante a la primitiva ya conocida.
4.1.3. Definición de la integral indefinida#
La integración indefinida es el proceso por el cual se obtienen las primitivas de una función. La notación más habitual para denotar a la integral indefinida de la función \(f\) es \(\int f(x) \mathrm{d}x\), que es la que utilizamos para su definición.
Definition (Integral indefinida)
Dada una función \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\), se llama integral indefinida de \(f\) al conjunto de todas las primitivas de \(f\), y se escribe
Utilizando el Theorem 4.2, es inmediato deducir que si conocemos una primitiva \(F\) de \(f\), su integral indefinida será
Entre las propiedades de la integral está la linealidad, es decir:
Property (Linealidad de la integración indefinida)
Sean las funciones \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) y \(g:I\rightarrow \mathbb{R}\) entonces se verifica
\(\displaystyle\int \left( f(x)+ g(x)\right) \, \mathrm{d}x = \int f(x) \, \mathrm{d}x + \int g(x) \, \mathrm{d}x\),
\(\displaystyle\int \alpha f(x) \, \mathrm{d}x = \alpha \int f(x) \, \mathrm{d}x, \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\).
Veamos ahora cuáles son algunas integrales inmediatas.
Property (Integrales inmediatas)
\(\displaystyle\int x^m \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{m+1}x^{m+1} + C, \quad m \neq -1\),
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln|x| + C\),
\(\displaystyle \int e^x \, \mathrm{d}x = e^x + C; \quad \int a^x \, \mathrm{d}x = \dfrac{a^x}{\ln a} + C, \quad a>0, a\neq1\),
\(\displaystyle \int \sin(x) \, \mathrm{d}x = -\cos(x) + C; \quad \int \cos(x) \, \mathrm{d}x = \sin(x) + C\),
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2(x)} \, \mathrm{d}x = \tan(x) + C\),
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + C\),
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \arcsin(x) + C\).
¿Te apetece practicar un poco con las llamadas integrales inmediatas? Aquí puedes hacerlo:
4.1.4. Principales métodos para obtener las integrales indefinidas#
Los métodos más comunes para obtener la integral indefinida de una función son la integración por partes, la integración por cambio de variable y la integración por descomposición de fracciones racionales.
4.1.4.1. Integración por partes#
La integración por partes se utiliza para hallar de forma más sencilla la integral de algunas funciones \(f\) que son producto de otras dos. Veamos el enunciado de este método.
Property (Integración por partes para la integral indefinida)
Si \(u'\) y \(v'\) son funciones continuas, se verifica que
o bien
Es conveniente utilizar este método para los productos de:
polinomio (actúa como \(u\)) contra exponencial (actúa como \(dv\)),
polinomio (\(u\)) contra seno o coseno (\(dv\)),
inversa de trigonométrica o logarítmica (\(u\)) contra polinomio (\(dv\)),
exponencial (\(u\) o \(dv\)) contra seno o coseno (\(dv\) o \(u\)).
Veamos un ejemplo para aplicar el método de integración por partes.
Example
Calcular la integral indefinida \(\int xe^{x-1} \,\mathrm{d}x\).
Debemos tener en cuenta que queremos simplificar el integrando de forma que la nueva integral a calcular sea directa o al menos más sencilla que la inicial. Entonces nos interesará considerar \(u=x\) y \(dv=e^{x-1}dx\), donde tras derivar e integrar obtenemos \(du = dx\) y \(v=e^{x-1}\), respectivamente. De este modo
donde la integral que nos queda por calcular ya es directa
Veamos algún ejemplo más donde podemos utilizar este método.
Example
Obtén las siguientes integrales indefinidas:
a) \(\int e^x \sin(x) \,\mathrm{d}x\)
Para este caso consideramos \(u=\sin(x)\) y \(dv=e^x dx\). Por tanto \( du = \cos(x)\) y \(v = e^x\) y al aplicar la integración por partes obtenemos
\[ \int e^x \sin(x) \,\mathrm{d}x = e^x \sin(x) - \int e^{x} \cos(x) dx. \]Ahora debemos volver a utilizar la integración por partes para resolver la nueva integral que aparece en el lado derecho. Tomamos \(u=\cos(x)\) y \(dv=e^x dx\) de donde \( du = -\sin(x)\) y \(v = e^x\) y por tanto
\[\begin{eqnarray*} \int e^x \sin(x) \,\mathrm{d}x &=& e^x \sin(x) - \int e^{x} \cos(x) dx \\ &=& e^x\sin(x) -e^x\cos(x) - \int e^{x} \sin(x) dx. \end{eqnarray*}\]Al aplicar por segunda vez la integración por partes hemos obtenido la misma integral que teníamos al inicio por lo que podemos obtener su valor despejándola de la igualdad anterior
\[ 2\int e^x \sin(x) \,\mathrm{d}x = e^x\sin(x) -e^x\cos(x).\]Por tanto obtenemos
\[ \int e^x \sin(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{ e^x}{2}\left(\sin(x) -\cos(x)\right) +C.\]b) \(\int \ln(x) \,\mathrm{d}x\)
Consideramos \(u=\ln(x)\) y \(dv=dx\). Entonces \(du=\dfrac{1}{x}\) y \(v=x\), de donde obtenemos que
\(\int \ln(x) \,\mathrm{d}x = x\ln(x) - \int 1dx = x\ln(x) -x +C = x(\ln(x) -1) +C. \)
Aquí puedes encontrar ejemplos para practicar:
4.1.4.2. Integración por cambio de variable#
Este método de integración se podría decir que es lo opuesto a la regla de la cadena en derivación. Lo que pretendemos al utilizar este método es convertir la función a integrar en algo más sencillo.
Property (Integración por cambio de variable)
Sean \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) integrable y \(\varphi:[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}\) inyectiva, con derivada continua y tal que \(\varphi([\alpha,\beta])\subset [a,b]\). Entonces se verifica que
Veamos algún ejemplo donde se aplica el cambio de variable.
Example
a) Para calcular \(\displaystyle\int \dfrac{(\ln(x))^3}{x} \,\mathrm{d}x \) podemos considerar \(t = \ln(x)\) y obtenemos (al derivar la anterior expresión) que \(dt=\dfrac{dx}{x}\). Por tanto, al hacer el cambio de variable en la integral inicial obtenemos
\[\int \dfrac{(\ln(x))^3}{x} \,\mathrm{d}x = \int t^3 \,\mathrm{d}t,\]que ya es una integral directa:
\[\int t^3 \,\mathrm{d}t = \dfrac{t^4}{4} + C.\]Finalmente, deshacemos el cambio de variable para obtener que
\[\int \dfrac{(\ln(x))^3}{x} \,\mathrm{d}x = \dfrac{(\ln(x))^4}{4} + C.\]b) Para calcular \(\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x \) podemos considerar \(t = \sqrt{x}\) de donde obtenemos que \(dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}} = \dfrac{dx}{2t}\). O lo que es lo mismo \(dx = 2t dt\), que al hacer el cambio de variable obtenemos
\[\int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x = \int \dfrac{2t}{1+t} \,\mathrm{d}t,\]que todavía no es una integral inmediata. Por lo que podemos hacer otro cambio de variable, sea \(z= 1+t\) entonces \(dz=dt\) y
\[ \int \dfrac{2t}{1+t} \,\mathrm{d}t = \int \dfrac{2z-2}{z} \,\mathrm{d}z = \int 2 \,\mathrm{d}z-\int \dfrac{2}{z} \,\mathrm{d}z = 2z -2\log|z| +C.\]Ahora debemos deshacer los dos cambios de variable realizados anteriormente, empezamos por el último
\[ \int \dfrac{2t}{1+t} \,\mathrm{d}t = 2t+2 -2 \ln|t+1| +C,\]y terminamos por el primer cambio
\[\begin{eqnarray*} \int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x &=& 2\sqrt{x} +2 -2\ln|\sqrt{x}+1| +C \\ &=& 2\left(1+\sqrt{x} -\ln(\sqrt{x}+1)\right) +C, \end{eqnarray*}\]donde el valor absoluto se ha eliminado al ser \(\sqrt{x}+1>0\).
Aquí puedes practicar:
4.1.4.3. Integración por descomposición de fracciones racionales#
Este método se utiliza para integrar funciones racionales \(f(x)=\dfrac{p_m(x)}{q_n(x)}\) en las cuales el grado del numerador (\(m\)) es menor que el grado del denominador (\(n\)). Esto siempre es posible ya que de no ser el caso, se puede efectuar la división, esto es, si \(m\ge n\) entonces \(\dfrac{p_m(x)}{q_n(x)} = c_r(x) + \dfrac{r_s(x)}{q_n(x)}\) donde el cociente es un polinomio que se puede integrar directamente y la nueva función a integrar por este método se corresponde con el resto de la división partido del divisor \(\dfrac{r_s(x)}{q_n(x)}\) verificándose que \(s<n\).
Property
Si tenemos una función racional tal que \(f(x)=\dfrac{p_m(x)}{q_n(x)}\) con \(m<n\), y \(\displaystyle q_n(x)=a_{n_a}(x)\prod_{i=1}^{R} (x-\alpha_i)^{s_i}\), donde \(\alpha_i\) son las distintas raices reales de multiplicidad \(s_i\) de \(q_n(x)\), con \(i=1,2,\dots,R\) y \(a_{n_a}(x)\) un polinomio sin raices reales con \(n_a<n\) tal que \(n_a +s_1+s_2 +\dots+s_R = n\). Entonces tenemos que
donde \(n_b < n_a\) y \(n_{r-1}=s_1+s_2+\dots+s_{r-1}\). En este caso la integral de \(f\) se puede descomponer en
Veamos algún ejemplo práctico.
Example
Ejemplo 1: Calcular \(\int \dfrac{2x}{x^3 -x^2 +x -1} \,\mathrm{d}x\).
Podemos descomponer el denominador en \((x^2+1)(x-1)\) y por tanto
\[\dfrac{2x}{x^3 -x^2 +x -1}= \dfrac{ax+b}{x^2+1}+\dfrac{k_1}{x -1},\]donde debemos obtener los valores de los parámetros \(a, \ b\) y \(k_1\). Para ello realizamos la suma
\[\dfrac{ax+b}{x^2+1}+\dfrac{k_1}{x -1} = \dfrac{(a+k_1)x^2 + (b-a)x +(k_1-b)}{(x^2+1)(x-1)}.\]Como queremos que el denomidador coincida con el original tenemos que \((a+k_1)x^2 + (b-a)x +(k_1-b)=2x\). Por tanto se debe verificar que \(a+k_1 = 0\), \(b-a = 2\) y \(k_1-b=0\), de donde obtenemos que \(b=k_1=1\) y \(a=-1\). Entonces
\[\begin{eqnarray*} \int \dfrac{2x}{x^3 -x^2 +x -1} \,\mathrm{d}x &=& \int \dfrac{-x+1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x+\int \dfrac{1}{x -1}\,\mathrm{d}x \\ &=& \int \dfrac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x - \int \dfrac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x+\int \dfrac{1}{x -1}\,\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}\]Donde las últimas 3 integrales ya son directas (en la segunda se podría hacer un cambio de variable si no se ve claramente). De este modo obtenemos
\[\int \dfrac{2x}{x^3 -x^2 +x -1} \,\mathrm{d}x = \arctan(x) -\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + \ln|x-1| + C. \]Ejemplo 2: Calcular \(\int \dfrac{x^2+3x+2}{x^3-3x^2+4} \,\mathrm{d}x\).
En este caso \(x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2\), por tanto
\[\dfrac{x^2+3x+2}{x^3-3x^2+4}= \dfrac{k_1}{x +1} + \dfrac{k_2}{x -2} + \dfrac{k_3}{(x -2)^2}.\]Realizando la suma de fracciones obtenemos
\[\begin{eqnarray*} \dfrac{k_1}{x +1} &+& \dfrac{k_2}{x -2} + \dfrac{k_3}{(x -2)^2} = \\ &&\dfrac{(k_1+k_2)x^2 + (k_3 -k_2 -4k_1)x + (k_3-2k_2+4k_1)}{(x+1)(x-2)^2}. \end{eqnarray*}\]Para que coincidan los numeradores se debe verificar que \(k_1+k_2=1\), \(k_3 -k_2 -4k_1=3\) y \(k_3-2k_2+4k_1=2\) de donde obtenemos que \(k_1=0\), \(k_2=1\) y \(k_3=4\). Entonces
\[\int \dfrac{x^2+3x+2}{x^3-3x^2+4} \,\mathrm{d}x = \int \dfrac{0}{x +1} \,\mathrm{d}x + \int\dfrac{1}{x -2} \,\mathrm{d}x+ \int\dfrac{4}{(x -2)^2} \,\mathrm{d}x,\]donde las integrales de la derecha ya son directas, nótese que \(\dfrac{4}{(x -2)^2}=4(x-2)^{-2}\), y, por tanto,
\[\int \dfrac{x^2+3x+2}{x^3-3x^2+4} \,\mathrm{d}x = \ln|x-2| -\dfrac{4}{x-2}+ C.\]