3.7. Boletín III: Cálculo diferencial de funciones de una variable

3.7.1. Ejercicios básicos

1. Sea \(f\) la función dada por \(f(x)=5x^2.\)

   a. Utiliza la definición de derivada para demostrar que \(f'(x)=10x.\)

   b. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(\displaystyle{x=\frac12}.\)

2. Sea \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dada por:

   \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \quad \text{si } x \leq -1 \\ ( x+1)^3 + 2x & \quad \text{si } x > -1 \end{cases} \end{split}\]

   Averigua si es derivable en \(x = -1\).

3. Sea \(f\) la función dada por

   \[\begin{split} f(x)= \begin{cases} \displaystyle{x+x^2 sen\left(\frac 1x\right)} & \text{ si } x\neq 0 \\ 0 & \text{ si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

   1. Obtén la expresión de \(f'(x)\) para \(x\neq 0\).

   2. Calcula \(f' (0)\) usando la definición de derivada; es decir, como límite del cociente incremental.

   3. Comprueba que el valor obtenido en el apartado [3.2] no coincide con el resultado de sustituir \(x\) por cero en la expresión hallada en [3.1]. Razona el porqué de estos resultados distintos.

4. Considera la función \(f\) dada por:

   \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle{\frac{1-\textbf{e}^{-x}}{x} } & \quad \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \quad \text{si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

   1. Calcula \(f'(x)\) en todos los puntos en los que exista.

   2. Calcula \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow -\infty}{f(x)}}\), \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow \infty}{f(x)}}\) y el conjunto \(\textrm{Im}(f)\).

5. Escribe el método de Newton–Raphson para aproximar \(\sqrt[3]{2}\) partiendo de \(x_0 = 1\). Calcula los dos primeros iterantes.

6. Para aproximar el valor de la solución de la ecuación \(x^3+2x-2=0,\) en el intervalo \([-2,\, 2],\) vamos a usar el método de Newton-Raphson.

   1. Plantea el algoritmo de Newton-Raphson para este caso.

   2. Calcula las dos primeras iteraciones usando ese algoritmo. Para ello usa como aproximación inicial el valor \(x_0=0\).

7. Sea \(f(x) = \displaystyle \arctan \left( \frac{sen (x)}{1 + \cos (x)} \right )\). Calcula la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x = 0\).

8. Sea la función \(f\) dada por \(f(x) = (4x+1)^{(2+ sen (x^2))}\). Calcula su derivada en cualquier punto.

9. Si consideramos la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por

   \[\begin{split} f(x)=\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle{\frac{sen^2(3x)}{3x^2}} & si & x\neq 0 \\ \\ \displaystyle{\frac13 }& si & x=0 \end{array} \right. }, \end{split}\]

   elige la opción correcta:

   1. \(\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\frac{1}{3} \).

   2. No se puede calcular \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0}{f(x)}}\).

   3. \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0}{f(x)}}=3\).

   4. Es continua en \(\mathbb{R}\)

10. Calcula los valores de \(a\) y \(b\) para que

    \[ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax^2+bx+1-\mathbf{e}^{2x}}{sen(x^2)}=1} \]

11. Sea la función \(f\) dada por \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} x |x|\). ¿Cuál es la clase de \(f\)?

12. Consideramos la función \(f\) dada por

    \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sin (x) \, \qquad \text{ si } x \in (-\infty,0) \\ \arctan (x) \,\qquad \text{ si } x \in [0,1] \\ \pi x^3 / 4 \, \qquad \text{ si } x \in (1,+\infty) \end{cases} \end{split}\]

    1. Esboza la representación gráfica de \(f\).

    2. Determina la clase de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

    3. Calcula, si es posible, la recta tangente a \(f\) en el punto \(x_0 = 0\).

    4. Determina un conjunto de números reales en el que \(f\) sea de clase infinito.

13. Sea \(f\) la función dada por

    \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} + 1 & \quad \text{si } x \in (0,1) \\ \alpha x^2 + \beta x + 1 & \quad \text{si } x \in [1,2) \end{cases} \end{split}\]

    1. Determina \(\alpha\) y \(\beta\) para que \(f\) sea derivable en \((0,2)\).

    2. ¿Qué condiciones deben verificar \(\alpha\) y \(\beta\) para que \(f\) tenga un mínimo relativo en el punto \(x=1\)?

14. Calcula los extremos relativos, y absolutos si existen, de la función definida en el intervalo \(\left [ -\frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right ]\) por \(f(x) = x^2 - 2|x| + 2\).

15. Considera la función \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(\displaystyle{f(x)=\frac{|x|}{\mathbf{e}^{x-1}}}\).

    1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.

    2. Esboza la gráfica de \(f\). Para ello calcula sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Determina también su(s) intervalo(s) de concavidad y/o convexidad.

    3. Determina los extremos absolutos de \(f\).

16. Demuestra que la ecuación \(x^4-4\,x^3-1=0\) tiene una única raíz en el intervalo \([4,5]\).
    Plantea el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación del apartado anterior. Partiendo de \(x_0=4\), obtén la aproximación \(x_1\) a mano y la aproximación \(x_7\) utilizando Python.

17. ¿En qué intervalo es creciente la función \(f\) dada por \(f(x)=x^3\mathbf{e}^x\)? ¿Es cóncava o convexa en ese intervalo? Esboza su gráfica.

18. Halla la condición que debe cumplir \(\lambda\) para que el polinomio \(x^4 + x^3 + \lambda x^2\) sea cóncavo en algún intervalo. Determina ese intervalo en función de \(\lambda\).

19. Encuentra un polinomio cúbico sin extremos locales pero con punto de inflexión y tangente horizontal en \(P=(1,\, 20)\).

20. Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y creciente. ¿Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación?
    Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y decreciente. ¿Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación?

21. Un rectángulo cuya base está en el eje de abscisas tiene sus dos vértices superiores en la parábola \(y = 12 - x^2\). ¿ Cuál es la mayor área que puede tener ese rectángulo? Indica sus dimensiones.

22. Sabiendo que \(p(x)=5+(x+1)^2+3(x+1)^3\) es el polinomio de Taylor de tercer orden centrado en \(x_0=-1\) de una función \(f,\) calcula \(f(-1),\) \(f^\prime (-1)\) y \(f^{\prime \prime}(-1).\) Justifica la respuesta.

23. Consideramos la función \(f\) definida mediante \(f(x)=\ln(1+x)\).

    1. Calcula el polinomio de McLaurin (es decir, el polinomio de Taylor con \(x_0=0\)) de orden dos relativo a \(f\).

    2. Utiliza este polinomio para aproximar el valor de \(\ln(1.1)\), acotando el error cometido.

24. Construye el polinomio de Taylor, \(p\), de primer orden para la función \(g(x) = sen (x)\), centrado en el punto \(x_0 = \pi/2\).

    Ahora considera la función \(f\) definida como sigue:

    \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} sen (x) \quad & \quad \quad \text{si } x \leq \pi/2 \\ p(x) \quad & \quad \quad \text{si } x > \pi/2 \end{cases} \end{split}\]

    siendo \(p\) el polinomio construido en el apartado anterior. ¿Cuál es la clase de \(f\) en \(\mathbb{R}\)?

25. Determina el polinomio de Taylor de orden dos de la función \(f(x)= arcsen(x)\) relativo al punto \(x_{0}=0\).
    Utiliza el polinomio anterior para obtener, de forma aproximada, el ángulo cuyo seno es \(\displaystyle{\frac{1}{10}}\).

26. Sea la función dada por

    \[\begin{split} \begin{array}{cccl} f: & \mathcal{D}om(f) \subset \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \rightsquigarrow & f(x) = \dfrac{x^2}{\mathbf{e}^x} \end{array} \end{split}\]

    1. Calcula el dominio de \(f.\)

    2. Calcula los extremos absolutos de \(f\) en el intervalo \([0,10]\), justificando previamente su existencia.

    3. Calcula los extremos absolutos de \(f\) en su dominio.

3.7.2. Ejercicios complementarios

1. Si la recta tangente a la gráfica de la función \(y = f(x)\) en el punto \((4,3)\) pasa por el punto \((0,2)\), calcula el valor de la función \(f\) y su derivada en el punto cuya abscisa es \(x = 4\).

2. Aproxima la solución de \(x^3 - x - 1 = 0\) en \([1.3,\, 1.4]\) mediante el método de Newton-Raphson, partiendo de \(x_0 = 1\) y realizando tres iteraciones.

3. Encuentra los números \(a\) y \(b\) tales que \(\,\,\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{ax+b}-2}{x}}=1}.\)

4. Calcula el límite:

   \[ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - \mathbf{e}}{x}.} \]

5. Se considera la función \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dada por:

   \[\begin{split} f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\dfrac{1-\cos (x)}{x^2}} & \text{ si } x\neq 0 \\ \lambda & \text{ si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

   a. Calcula el valor de \(\lambda\) para el cual \(f\) es derivable en \(x=0\).

   b. Calcula \(f^{\prime \prime}(0)\) para el valor de \(\lambda\) hallado en el apartado anterior.

6. Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \( f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 - \frac{x^2}{2} & \text{ si } x < 0 \\ \cos (x) & \text{ si } x \geq 0 \end{cases} \).
   ¿Cuántas veces es \(f\) derivable en \(x_{0}=0\)?

7. Comprueba que la función \(F\), dada por \(F(x) = \dfrac{1}{4} x^2 - \ln x\), tiene un mínimo relativo, \(x_{\min}\), en el intervalo \((1,3)\).
   Utiliza el algoritmo de dicotomía, partiendo de \(a = 1\) y \(b = 3\), para aproximar \(x_{\min}\) con un error menor que \(\frac{1}{7}\).

8. Consideramos la ecuación , \(x \mathbf{e}^{-x} = \mathbf{e}^{-3}\).

   1. Comprueba que tiene exactamente dos soluciones en \(\mathbb{R}\).

   2. Plantea el método de Newton-Raphson a partir de un punto en el intervalo \([2,5]\). Calcula \(x_2\) a partir de \(x_0 = 2\).

9. Se desea construir un arco que describa la curva dada por \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\). Para facilitar la construcción, se propone aproximar dicha función por un polinomio de Taylor de segundo orden centrado en \(a = 0\). Calcula dicho polinomio y aproxima \(f(1)\).

10. Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye. La velocidad \(v\) del aire en la tráquea durante la tos viene relacionada con el radio, \(r,\) mediante la ecuación:

    \[ v = Ar^2 (r_0-r) \quad , \qquad A > 0 \]

    donde \(r_0\) es el radio en estado de relajación.

    1. Halla el radio de la tráquea cuando la velocidad es máxima, así como esta velocidad.

    2. Justifica la existencia de un mínimo. Calcúlalo.

11. Halla el radio y la altura de una lata cilíndrica de refresco de \(33\) cm\(^3\) que minimice la cantidad de material utilizado para su construcción (supón que el grosor del material empleado es uniforme en toda la lata y despreciable).

12. Sea la función real \(f\) dada por:

    \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{sen( x)}{x} - 1 \quad & \quad \quad \text{si } x < 0 \\ & \\ x^3 \mathbf{e}^{-x^2} \quad & \quad \quad \text{si } x \geq 0 \, . \end{cases} \end{split}\]

    1. Estudia la derivabilidad de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

    2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de la función \(f\) en un entorno de \(x_0 = 1\).

    3. Determina razonadamente los extremos absolutos de \(f\) en \([0,+\infty)\).

13. Sea la función \(f\) dada por:

    \[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{sen (x)}{x} \, & \quad \quad \text{si } x < 0 \\ 2 - \cos(x) \, & \quad \quad \text{si } x \geq 0 \, . \end{cases} \end{split}\]

    1. Estudia la continuidad de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

    2. Determina, si existe, \(f'(0)\). En caso afirmativo, razona si \(f\) es de clase uno en \(\mathbb{R}\).

    3. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de \(f\) en \(x = -\pi\).

14. Llamamos \(f(x) = \sqrt{x+1}\).

    1. Halla el polinomio de Taylor de cuarto orden de \(f\) en \(x = 0\).

    2. Aproxima \(\sqrt{1.02}\) con el polinomio de Taylor de segundo grado y acota el error cometido.

15. Obtén el polinomio de McLaurin (Taylor, con \(x_{0}=0\)) de orden menor o igual que \(n\) relativo a \(f(x) = (1-x)^{\alpha}\), con \(\alpha \in \mathbb{R}\).

16. Construye el polinomio de Taylor de grado menor o igual que \(3\) para la función \(f(x)=x^2 - 2x + 1\) en un entorno del punto \(x_{0} = 1\).

17. Determina los extremos absolutos de la función \(f(x)=|16-x^2|\) en el intervalo \([-5,8]\).

18. Queremos aproximar una raíz de la ecuación \(x^3 -x^2 + 2 = 0\).

    1. Justifica la existencia de raíces de la función \(f\) dada por \(f(x)=x^3 -x^2 + 2\) en el intervalo \([-2,3]\).

    2. Partiendo de \(x_0=2\) calcula, mediante el algoritmo de Newton, \(x_1\). Utiliza dos cifras decimales correctas en tus cálculos.