5.2. Límites y continuidad con Sympy#

El módulo Sympy puede utilizarse se para obtener las singularidades de una función, su dominio y su rango, entre otras cosas. Como veremos en esta práctica, también podremos calcular límites en una variable y comprobar si una función es continua en un punto dado.

Objetivos:

Diferenciar una expresión de una función en Sympy,
definir funciones a trozos,
explorar el dominio, singularidades y rango de una función,
cálculo de límites en una variable,
análisis de la continuidad de una función.

Recordemos que lo primero que debemos hacer es importar el módulo Sympy para el resto de la práctica:

import sympy as sp

5.2.1. Expresiones y funciones en Sympy#

Hasta ahora hemos usado expresiones matemáticas que se guardaban en objetos del módulo Sympy. Sin embargo, todavía no hemos utilizado funciones. Para ver las diferencias entre una expresión y su función asociada vamos a mostrar como evaluar funciones y expresiones en Sympy sobre un ejemplo sencillo: la función $f(x) \to x\cos(4x)$:

x = sp.symbols('x', real=True) # define la variable simbólica x
f_expr = x*sp.cos(4*x) # Esto es una expresión
display(f_expr)
print('Valor de f_expr(2)=',f_expr.subs({x:2})) # Evaluamos la expresión f con "subs"

y = sp.symbols('y', real=True)
f2_expr=sp.exp(x**3+1)
sp.solve(f2_expr-y,x)

sp.solve(sp.Abs(2*x-4)-sp.Abs(x-3))

\[\displaystyle x \cos{\left(4 x \right)}\]

Valor de f_expr(2)= 2*cos(8)

[1, 7/3]

En el caso de las funciones, la evauación es mucho más sencilla: se hace como en cualquier otra función pre-definida (seno, coseno, exponencial, etc.).

Para definir funciones en Sympy tenemos que utilizar la función sp.Lambda:

f = sp.Lambda((x),f_expr) # Creamos la función "f" a partir de la expresión "f_expr"
display(f)
print('Valor de f(2)=',f(2)) # Evaluación de la función
print(f(x)==f_expr)

\[\displaystyle \left( x \mapsto x \cos{\left(4 x \right)} \right)\]

Valor de f(2)= 2*cos(8)
True

5.2.2. Funciones definidas a trozos#

Las funciones también pueden definirse a partir de expresiones a trozos, teniendo en cuenta distintas expresiones que serán evluadas si se cumplen ciertas condiciones. El módulo Sympy irá evaluando cada una de las tuplas que aparecen como argumentos (de izquierda a derecha) hasta encontrar una en la que la condición sea cierta. Por ejemplo:

\[\begin{split} g\_expr(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x>0,\\ 1 & \text{si } x \le 0. \end{cases} \end{split}\]

g_expr = sp.Piecewise((1/(x), x>0), (1, True))
g = sp.Lambda((x), g_expr)
display(g(x))

\[\begin{split}\displaystyle \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{for}\: x > 0 \\1 & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

La forma de escritura anterior, pese a ser muy cómoda, tiene muchas limitaciones (por ejemplo, para el cálculo de límites laterales, que veremos un poco más abajo). En general, es más útil definir las funciones a trozos apoyándonos en la función escalón, matemáticamente conocida como función de Heaviside, $\theta$, que viene dada por

\[\begin{split} \theta(x)= \begin{cases} 0 & \text{si } x \le 0,\\ 1 & \text{si } x \gt 0.\\ \end{cases} \end{split}\]

Entonces, una función definida por

\[\begin{split} f(x)= \begin{cases} f_1(x) & \text{si } x>0,\\ f_{2}(x) & \text{si } x < 0, \end{cases} \end{split}\]

se escribiría como

\[ f(x) = f_2(x)+(f_1(x)-f_2(x))\theta(x). \]

# Definición de la función
g1 = 1/x; g2 = 1
g_expr = g2 + (g1 - g2) * sp.Heaviside(x, 0)  
g = sp.Lambda(x, g_expr)
# Comprobar la definición de la función g
display(sp.simplify(g(x).rewrite(sp.Piecewise)))

\[\begin{split}\displaystyle \begin{cases} 1 & \text{for}\: x \leq 0 \\\frac{1}{x} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

5.2.3. Dominio e imagen de una función#

Para calcular el dominio de una función se puede, en primer lugar, calcular las singularidades de una función dada. Entonces, el dominio máximo de la función será todo $\mathbb{R}$ menos las singularidades.

f=sp.Lambda(x, x/(sp.cos(x)))
display(sp.calculus.singularities(f(x), x))

\[\displaystyle \left\{2 n \pi + \frac{\pi}{2}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{2 n \pi + \frac{3 \pi}{2}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\}\]

Para calcular la imagen de una función (o, lo que es lo mismo, su rango), utilizaremos la función sp.calculus.util.function_range:

f=sp.Lambda(x, x/(x**2+1))
R = sp.calculus.util.function_range(f(x), x, sp.Reals)
display(R)

\[\displaystyle \left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\]

Ejercicio 5.1 Calcula las singularidades y la imagen de la función $f(x)=\displaystyle\frac{x+5}{x^3-2}+\frac{x^2}{x-2}$. Para ello, debes definir en primer lugar la expresión asociada y, a continuación, la función Lambda correspondiente. Después, debes calcular su dominio y su imagen. Por último, dibuja la función $f$.

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5.2.4. Límites#

Los límites de expresiones de una variable se pueden calcular con la función sp.limit. Esta función también permite calcular límites laterales, como se muestra en el siguiente ejemplo:

g_expr = sp.cos(x)/(x+1)
g = sp.Lambda(x, g_expr)
display(g(x))

display(sp.limit(g(x),x,-1,dir='-')) # límite por la izquierda
display(sp.limit(g(x),x,-1,dir='+')) # límite por la derecha

\[\displaystyle \frac{\cos{\left(x \right)}}{x + 1}\]

\[\displaystyle -\infty\]

\[\displaystyle \infty\]

En este caso, el límite $\displaystyle\lim_{x\to -1}g(x)$ no existe ya que, como acabamos de ver, los límite laterales no coinciden. Pero una incorrecta utilización del paquete informático nos podría llevar a una conclusión errónea:

display(sp.limit(g(x),x,-1)) # ¡Da un resultado (incorrecto) ya que, por defecto, utiliza el valor del límite por la derecha!

\[\displaystyle \infty\]

A continuación mostramos como se pueden calcular los límites laterales de una función definida a trozos. En este caso, la definición mediante sp.Piecewise dará un error de ejecución (¡prueba!), por lo que tendremos que definir la función utilizando nuestro ya odiado escalón (Heaviside):

# Definición de la función a trozos (utilizando la función Heaviside)
f1 = 1/x; f2 = 1
f_expr = f2 + (f1 - f2) * sp.Heaviside(x, 0)  
f = sp.Lambda(x, f_expr)
display(sp.simplify(f(x).rewrite(sp.Piecewise)))

display(sp.limit(f(x),x,0,dir='-')) # límite por la izquierda
display(sp.limit(f(x),x,0,dir='+')) # límite por la derecha

\[\begin{split}\displaystyle \begin{cases} 1 & \text{for}\: x \leq 0 \\\frac{1}{x} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

\[\displaystyle 1\]

\[\displaystyle \infty\]

No hay ningún problema si queremos calcular límites en el infinito, $x\to+\infty$ o $x\to-\infty$. El valor de $\infty$ se representa en Sympy por sp.oo. Por ejemplo:

display(sp.limit(sp.exp(x),x,-sp.oo))
display(sp.limit(sp.exp(x),x,sp.oo))

\[\displaystyle 0\]

\[\displaystyle \infty\]

Ejercicio 5.2

Representa gráficamente la siguiente función y calcula los límites que se indican:

\[\begin{split} f(x)= \begin{cases} \cos(x) & \text{si } x<0,\\ \frac{x^2}{x+1} & \text{si } x \geq 0, \end{cases} \end{split}\]

$\lim_{x\to -1} f(x)$,
$\lim_{x\to 1} f(x)$,
$\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$,
$\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$.

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5.2.5. Continuidad#

En el módulo de Sympy existe una función que calcula el dominio de continuidad (es decir, el conjunto de puntos en los que la función es continua): sp.calculus.util.continuous_domain

f=sp.Lambda(x, x/sp.cos(x))
I = sp.calculus.util.continuous_domain(f, x, sp.Reals)
display(I)

\[\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left(\left\{2 n \pi + \frac{\pi}{2}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{2 n \pi + \frac{3 \pi}{2}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\}\right)\]

Además, para analizar la continuidad de $f$ en un punto $a$, basta con comprobar que $$ f(a)=\lim_{x\to a}f(x). $$ Por ejemplo:

# Dominio de continuidad de la función valor absoluto
f = sp.Lambda((x), sp.Abs(x))
I = sp.calculus.util.continuous_domain(f(x), x, sp.Reals)
display(I)

# Comprobación de la continuidad para la misma función, pero ahora definida a trozos
f1 = x; f2 = -x
f_expr = f2 + (f1-f2) * sp.Heaviside(x, 0)
f = sp.Lambda(x, f_expr)
# Comprobamos la definición de la función f
display(sp.simplify(f.rewrite(sp.Piecewise)))

print('La función f es continua en x=0:', sp.limit(f(x),x,0)==f(0))
I = sp.calculus.util.continuous_domain(f(x), x, sp.Reals)
display(I)

\[\displaystyle \mathbb{R}\]

\[\begin{split}\displaystyle \left( x \mapsto \begin{cases} - x & \text{for}\: x \leq 0 \\x & \text{otherwise} \end{cases} \right)\end{split}\]

La función f es continua en x=0: True

\[\displaystyle \mathbb{R}\]

Ejercicio 5.3 Analiza la continuidad de la función del Ejercicio 5.2.

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Calculo en una variable

Límites y continuidad con Sympy

Contents

5.2. Límites y continuidad con Sympy#

5.2.1. Expresiones y funciones en Sympy#

5.2.2. Funciones definidas a trozos#

5.2.3. Dominio e imagen de una función#

5.2.4. Límites#

5.2.5. Continuidad#