3.3. Derivadas sucesivas

Vamos a suponer que tenemos una función $f:(a,b)⟶\mathbb{R}$, derivable en $(a,b)$. Podemos considerar, entonces, su función derivada en $(a,b)$:

$$\begin{array}{cccc}{f}^{\prime }:& (a,b)& ⟶& \mathbb{R}\\ & x& ⇝& f^{\prime }(x)\end{array}$$

Definition

Dado un punto $x_0\in (a,b)$ definimos la derivada segunda de $f$ en $x_0$ como la derivada de $f^{\prime }$ en $x_0$, es decir, como el siguiente límite:

$$f^{″}(x_0)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0+h)-f^{\prime }(x_0)}{h}}.$$

Si este límite existe y es finito, se dice que $f$ es derivable dos veces en $x_0$.

Definition

Si $f$ admite derivada segunda en todo punto de $(a,b)$ definimos su derivada tercera en $x_0$ como el límite, si existe,

$$f^{‴}(x_0)=(f^{″}{)}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{″}(x_0+h)-f^{″}(x_0)}{h}}.$$

Así podríamos definir la derivada cuarta, etc. En general, una vez que se tiene $f^{n-1}:(a,b)⟶\mathbb{R}$, definimos la derivada n-ésima en $x_0$ como:

$$f^n(x_0)={\left(f^{(n-1)}\right)}^{\prime }(x_0).$$

Por ejemplo, si partimos de una función sencilla,

• $f(x)=\sin (x)+x^2$,

• $f^{\prime }(x)=\cos (x)+2x$,

• $f^{″}(x)=-\sin (x)+2$,

• $f^{‴}(x)=-\cos (x)$,

• etc.

La orden en Sympy para calcular la derivada n-ésima de una expresión es la siguiente:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)
f_exp = sp.sin(x) + x**2
display(f_exp)
display(sp.diff(f_exp,x))
display(sp.diff(f_exp,x,2))
display(sp.diff(f_exp,x,3))
# Nota: también se puede usar la siguiente escritura:
# display(f_exp.diff(x,3))

$${\displaystyle x^2+\sin \left(x\right)}$$

$${\displaystyle 2x+\cos \left(x\right)}$$

$${\displaystyle 2-\sin \left(x\right)}$$

$${\displaystyle -\cos \left(x\right)}$$

Definition (Clase de una función)

Sea $f:(a,b)⟶\mathbb{R}$. Diremos que

1. $f$ es de clase $n$ en $(a,b)$, $f\in {\mathcal{C}}^n(a,b)$, si existen las $n$ primeras derivadas de $f$, $f^{\prime }$, $f^{″}$, $\dots$, $f^{(n}$, y además $f^{(n}$ es una función continua,

2. $f$ es de clase $0$ en $(a,b)$, $f\in {\mathcal{C}}^0(a,b)$, si $f$ es continua,

3. $f$ es de clase $\mathrm{\infty }$ en (a,b), $f\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(a,b)$, si $f\in {\mathcal{C}}^n(a,b),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$,

4. $f$ es de clase $n$ en $[a,b]$, $f\in {\mathcal{C}}^n[a,b]$,si existe $(c,d)\supset [a,b]$ tal que $f\in {\mathcal{C}}^n(c,d)$.

Veamos un ejercicio/ejemplo completo para practicar:

Example

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x|x|$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. ¿Cuál es la clase de $f$ en $\mathbb{R}$?

Respuesta: En primer lugar, separamos el valor absoluto según lo de dentro sea positivo o negativo,

$$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{cl}-\frac{1}{2}{x}^2& \text{si }x<0,\\ \frac{1}{2}{x}^2& \text{si }x\ge 0.\end{array}\end{array}$$

La representación gráfica de $f$ en Sympy se puede obtener del siguiento modo:

f_expr = 0.5*x*sp.Abs(x)
p = sp.plot(f_expr, (x, -4, 4), show=False)
p[0].line_color='r'
p.xlabel='x'
p.ylabel='y'
p.show()

Ahora vamos a comprobar si $f$ es una función continua. Es evidente que $f$ es continua en todo punto $x$ distinto del $0$, ya que para $x<0$ y para $x>0$ $f$ es un polinomio. El $0$ es un punto que debemos estudiar con más cuidado, ya que en él se produce un cambio en la definición de $f$. Calculamos sus límites laterales,

$$\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}-\frac{1}{2}{x}^2=0=f(0),\\ & & \underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{2}{x}^2=0=f(0).\end{array}$$

Como los dos límites coinciden con el valor de la función en ese punto, ya sabemos que $f$ es continua en $0$ y, por tanto, continua en todo $\mathbb{R}$. Entonces

$$\boxed{f\in {\mathcal{C}}^0(\mathbb{R}).}$$

f = sp.Lambda(x, f_expr)
display(sp.limit(f(x),x,0,dir='-'))
display(sp.limit(f(x),x,0,dir='+'))
print('f es de clase 0?', sp.limit(f(x),x,0) == f(0))

$${\displaystyle 0}$$

$${\displaystyle 0}$$

f es de clase 0? True

Vamos a calcular ahora la derivada de $f$. El $0$ es el punto problemático. Estudiamos $f^{\prime }(0)$ en primer lugar, calculando sus derivadas laterales:

$$\begin{array}{rcl}& & f^{\prime }(0^{-})=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{h}^2-0}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}-\frac{1}{2}{h}^2=0,\\ & & f^{\prime }(0^{+})=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{1}{2}{h}^2-0}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{2}{h}^2=0.\end{array}$$

Como las derivadas laterales coinciden, sabemos que $f^{\prime }$ es una función derivable en el $0$ y que $f^{\prime }(0)=0$. En el resto de puntos es muy sencillo derivar, porque $f$ es un polinomio. Resulta entonces,

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cl}-x& \text{si }x<0,\\ 0& \text{si }x=0,\\ x& \text{si }x\ge 0.\end{array}\end{array}$$

Es muy sencillo comprobar que $f^{\prime }$ es una función continua. Entonces

$$\boxed{f\in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R}).}$$

La representación gráfica de $f^{\prime }$ se obtiene del siguiente modo.

p = sp.plot(f_expr.diff(x,1), (x, -4, 4), show=False)
p[0].line_color='r'
p.xlabel='x'
p.ylabel='y'
p.show()

Ahora intentamos calcular la derivada segunda de $f$. Comenzamos con el punto problemático, $x=0$, calculando sus derivadas laterales.

$$\begin{array}{rcl}& & f^{″}(0^{-})=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f^{\prime }(h)-f^{\prime }(0)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{-h-0}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}-1=-1,\\ & & f^{″}(0^{+})=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f^{\prime }(h)-f^{\prime }(0)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{h-0}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}1=1.\end{array}$$

Como las derivadas laterales no coinciden, resulta que $\mathrm{\nexists }{f}^{″}(0)$. Por lo tanto

$$\boxed{f\notin {\mathcal{C}}^2(\mathbb{R}).}$$

Con la ayuda de Sympy podríamos analizarlo del siguiente modo:

f1_expr = f_expr.diff(x,1)
f1 = sp.Lambda(x, f1_expr)

h = sp.symbols('h', real=True)
f2_0Minus = sp.limit((f1(h)-f1(0))/h,h,0,dir='-')
f2_0Plus = sp.limit((f1(h)-f1(0))/h,h,0,dir='+')
print('f2_0Minus = ', f2_0Minus, ', f2_0Plus = ', f2_0Plus) 
print('Existe f\'\'(0)?',f2_0Minus==f2_0Plus)

f2_0Minus =  -1.00000000000000 , f2_0Plus =  1.00000000000000
Existe f''(0)? False